উচ্চতর গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর $r$ ব্যাসার্ধবিশিষ্ট গোলকের পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল $= 4\pi r^2$ বর্গ একক।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর গোলকের কেন্দ্র $O$ থেকে $8$ সে.মি. দূরে ব্যাসের উপর লম্ব সমতল গোলককে যে তলে ছেদ করে তা একটি বৃত্ত। এই বৃত্তের কেন্দ্র $P$ হলে $OP = 8$ সে.মি. এবং বৃত্তের পরিধির উপর যেকোনো বিন্দু $B$ হলে $OB = 17$ সে.মি. (গোলকের ব্যাসার্ধ)। সমকোণী ত্রিভুজ $OPB$ থেকে $PB^2 = OB^2 - OP^2 = 17^2 - 8^2 = 289 - 64 = 225$, অতএব $PB = 15$ সে.মি.। বৃত্তের ক্ষেত্রফল $= \pi \times 15^2 = 225\pi = 706.86$ বর্গ সে.মি. (প্রায়)। নির্ণেয় ক্ষেত্রফল $225\pi$ বর্গ সে.মি. (প্রায় $706.86$ বর্গ সে.মি.)।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর সীসার গোলকের ব্যাসার্ধ $= \frac{18}{2} = 9$ সে.মি.। তার আয়তন $= \frac{4}{3}\pi \times 9^3 = \frac{4}{3}\pi \times 729 = 972\pi$ ঘন সে.মি.। প্রতিটি গুলির ব্যাসার্ধ $1.5$ সে.মি. হলে একটি গুলির আয়তন $= \frac{4}{3}\pi \times (1.5)^3 = \frac{4}{3}\pi \times 3.375 = 4.5\pi$ ঘন সে.মি.। মনে করি, গুলির সংখ্যা $n$। গোলক গলালে আয়তন অপরিবর্তিত থাকে, তাই $n \times 4.5\pi = 972\pi$ বা, $n = \frac{972}{4.5} = 216$। নির্ণেয় গুলির সংখ্যা $216$ টি।