একটি ত্রিকোণাকার প্লটের তিনটি কোণা নকশায় A(0,0), B(6,0…

উচ্চতর গণিত • স্থানাঙ্ক জ্যামিতি (Coordinate Geometry)

একটি ত্রিকোণাকার প্লটের তিনটি কোণা নকশায় $A(0,0)$ , $B(6,0)$ ও $C(3,k)$ বিন্দুতে আছে, যেখানে $k>0$ । প্লটটির ক্ষেত্রফল $12$ বর্গ একক।

ক)
$A$ ও $B$ বিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্ব কত?
(2)
খ)
$AC$ ও $BC$ এর দৈর্ঘ্য $k$ এর মাধ্যমে প্রকাশ কর এবং দেখাও যে ত্রিভুজ $ABC$ সমদ্বিবাহু।
(4)
গ)
হেরনের সূত্র ব্যবহার করে দেখাও যে ক্ষেত্রফল $=3k$ বর্গ একক। এর সাহায্যে $k$ এর মান এবং ত্রিভুজটির পরিসীমা নির্ণয় কর।
(4)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

ক)
AI-তৈরি নমুনা উত্তর $AB=\sqrt{(6-0)^2+(0-0)^2}=\sqrt{36}=6$ একক।
খ)
AI-তৈরি নমুনা উত্তর $AC=\sqrt{(3-0)^2+(k-0)^2}=\sqrt{9+k^2}$ একক এবং $BC=\sqrt{(3-6)^2+(k-0)^2}=\sqrt{9+k^2}$ একক। দেখা যাচ্ছে $AC=BC$ । কিন্তু $AB=6$ এবং $k$ এর মানের ওপর নির্ভর করে $\sqrt{9+k^2}$ সাধারণত $6$ এর সমান নয় ( $k=\sqrt{27}$ ছাড়া)। দুটি বাহু সমান হওয়ায় ত্রিভুজ $ABC$ একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।
গ)
AI-তৈরি নমুনা উত্তর ধরি $AC=BC=a=\sqrt{9+k^2}$ এবং $AB=6$ । অর্ধপরিসীমা $s=\frac{a+a+6}{2}=a+3$ । তাহলে $s-a=3$ , $s-b=3$ এবং $s-6=a-3$ । ক্ষেত্রফল $=\sqrt{(a+3)\cdot3\cdot3\cdot(a-3)}=\sqrt{9(a^2-9)}=\sqrt{9k^2}=3k$ বর্গ একক ( $k>0$ ), কারণ $a^2-9=k^2$ । প্রদত্ত ক্ষেত্রফল $12$ হলে $3k=12$ বা $k=4$ । তখন $AC=BC=\sqrt{9+16}=5$ একক। পরিসীমা $=5+5+6=16$ একক। যাচাই: ভূমি $6$ ও উচ্চতা $4$ ধরে ক্ষেত্রফল $=\frac{1}{2}\times6\times4=12$ বর্গ একক, যা সঠিক।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও