উচ্চতর গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর সূত্রটি ভেক্টর যোগের ওপর স্কেলার গুণনের বণ্টন নিয়ম প্রকাশ করে। এটি $m$ এর ধনাত্মক, ঋণাত্মক ও শূন্য সকল মানের জন্য সত্য।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর এখানে $m + n = 3 + (-5) = -2$, অতএব $(m+n)\underline{u} = -2\underline{u}$।
   এর দৈর্ঘ্য $= |-2||\underline{u}| = 2|\underline{u}|$। $m$ ও $n$ এর একটি ধনাত্মক ও অপরটি ঋণাত্মক এবং $|m| = 3 < |n| = 5$ বলে ভেক্টরটির দিক $\underline{u}$ এর বিপরীত দিকে।
   আবার $m\underline{u} = 3\underline{u}$ এবং $n\underline{u} = -5\underline{u}$। এদের যোগফল $3\underline{u} - 5\underline{u}$ এর দৈর্ঘ্য $||3| - |-5|||\underline{u}| = 2|\underline{u}|$ এবং দিক $\underline{u}$ এর বিপরীত, কেননা $|n| > |m|$।
   তাই $m\underline{u} + n\underline{u}$ দৈর্ঘ্য ও দিকে $(m+n)\underline{u}$ এর সাথে একমুখী ও সমান।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর $\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = \underline{b} - \underline{a}$।
   $\vec{AC} = \vec{OC} - \vec{OA} = (3\underline{a} - 2\underline{b}) - \underline{a} = 2\underline{a} - 2\underline{b} = -2(\underline{b} - \underline{a}) = -2\vec{AB}$।
   অর্থাৎ $\vec{AC}$ হলো $\vec{AB}$ এর সংখ্যাগুণিতক। দুটি ভেক্টরেরই সাধারণ বিন্দু $A$, তাই তাদের ধারক রেখা অভিন্ন। সুতরাং $A$, $B$, $C$ বিন্দু তিনটি সমরেখ।
   এখানে $|\vec{AC}| = |-2||\vec{AB}| = 2|\vec{AB}|$, তাই $AB : AC = 1 : 2$।
   ঋণাত্মক চিহ্ন থেকে বোঝা যায় $C$ বিন্দু $A$ এর যে পাশে $B$ আছে তার বিপরীত পাশে অবস্থিত, অর্থাৎ $A$ বিন্দু $BC$ এর মধ্যে অবস্থিত।