উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর চতুর্থ চতুর্ভাগে $x$ ধনাত্মক ও $y$ ঋণাত্মক, তাই কেবল $\cos\theta$ ও $\sec\theta$ ধনাত্মক। বাকি চারটি অনুপাত ঋণাত্মক।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর $P(-12,-5)$-এ $x < 0$ এবং $y < 0$, তাই রশ্মির শেষ অবস্থান ৩য় চতুর্ভাগে; অর্থাৎ $\theta$ ৩য় চতুর্ভাগে।
   $r = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{144 + 25} = 13$।
   $\sin\theta = \frac{y}{r} = -\frac{5}{13}$ এবং $\cos\theta = \frac{x}{r} = -\frac{12}{13}$।
   $r$ সর্বদা ধনাত্মক, তাই অনুপাতের চিহ্ন $x$ ও $y$-এর চিহ্নের উপর নির্ভর করে। ৩য় চতুর্ভাগে $x$ ও $y$ উভয়ই ঋণাত্মক হওয়ায় $\sin\theta$ ও $\cos\theta$ উভয়ই ঋণাত্মক।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর বামপক্ষ $= (\cos^2\theta)^3 + (\sin^2\theta)^3$
   $= (\cos^2\theta + \sin^2\theta)^3 - 3\cos^2\theta\sin^2\theta(\cos^2\theta + \sin^2\theta)$
   $= 1 - 3\sin^2\theta\cos^2\theta$ = ডানপক্ষ। (প্রমাণিত)
   উদ্দীপক থেকে $\sin^2\theta = \frac{25}{169}$ এবং $\cos^2\theta = \frac{144}{169}$।
   তাই $\sin^2\theta\cos^2\theta = \frac{25 \times 144}{169^2} = \frac{3600}{28561}$।
   মান $= 1 - 3 \times \frac{3600}{28561} = 1 - \frac{10800}{28561} = \frac{17761}{28561}$।