উচ্চতর গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর ডোমেন $(-\infty, \infty)$ এবং রেঞ্জ $(0, \infty)$।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর $x + 5 = 0$ অর্থাৎ $x = -5$ হলে $f(x)$ অসংজ্ঞায়িত হয়। তাই ডোমেন $= R - \{-5\}$।
   ধরি $y = \dfrac{x-2}{x+5}$। তাহলে $xy + 5y = x - 2$
   বা, $xy - x = -2 - 5y$ বা, $x(y-1) = -(2+5y)$
   বা, $x = \dfrac{5y+2}{1-y}$। অর্থাৎ $f^{-1}(y) = \dfrac{5y+2}{1-y}$।
   চলক পরিবর্তন করে, $f^{-1}(x) = \dfrac{5x+2}{1-x}$

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর $g(x) = \ln \dfrac{x-2}{x+5}$ বাস্তব মান পাবে যদি $\dfrac{x-2}{x+5} > 0$ হয়, কারণ লগারিদম কেবল ধনাত্মক সংখ্যার জন্য সংজ্ঞায়িত।
   এটি হবে যদি
   (i) $x - 2 > 0$ এবং $x + 5 > 0$ হয়, অর্থাৎ $x > 2$ এবং $x > -5$। ডোমেন $= (2, \infty)$।
   অথবা (ii) $x - 2 < 0$ এবং $x + 5 < 0$ হয়, অর্থাৎ $x < 2$ এবং $x < -5$। ডোমেন $= (-\infty, -5)$।
   $\therefore$ $g(x)$ এর ডোমেন $= (-\infty, -5) \cup (2, \infty)$