উচ্চতর গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর প্রথমবার ওঠে $12 \times \dfrac{2}{3} = 8$ মিটার, দ্বিতীয়বার $8 \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{16}{3}$ মিটার, তৃতীয়বার $\dfrac{16}{3} \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{32}{9}$ মিটার। অতএব তৃতীয়বার মাটি স্পর্শ করার পর বলটি $\dfrac{32}{9}$ মিটার উচ্চতায় উঠবে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর ওঠার উচ্চতাগুলোর ধারা: $8 + \dfrac{16}{3} + \dfrac{32}{9} + \dots$। এটি একটি অসীম গুণোত্তর ধারা, যার প্রথম পদ $a = 8$ এবং সাধারণ অনুপাত $r = \dfrac{16/3}{8} = \dfrac{2}{3}$। যেহেতু $|r| = \dfrac{2}{3} < 1$, তাই ধারাটির অসীমতক সমষ্টি আছে। সমষ্টি $S_\infty = \dfrac{a}{1-r} = \dfrac{8}{1-\frac{2}{3}} = \dfrac{8}{\frac{1}{3}} = \mathbf{24}$ মিটার।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর প্রথমে বলটি নিচে নামে $12$ মিটার। এরপর প্রতিবার যতটুকু উপরে ওঠে ঠিক ততটুকুই আবার নিচে নামে। তাই মোট দূরত্ব = $12 + 2\left(8 + \dfrac{16}{3} + \dfrac{32}{9} + \dots\right)$। বন্ধনীর ভিতরের ধারাটির সমষ্টি $S_\infty = \dfrac{8}{1-\frac{2}{3}} = 24$। সুতরাং মোট দূরত্ব $= 12 + 2 \times 24 = 12 + 48 = \mathbf{60}$ মিটার।