উচ্চতর গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর ডোমেন $D_f = (0, \infty)$ এবং রেঞ্জ $R_f = (-\infty, \infty)$।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর যেকোনো $a > 0, a \ne 1$ এর জন্য $a^0 = 1$, অতএব $\log_a 1 = 0$। এখানে $\log_{\frac{1}{2}} 1 = 0$, তাই $x=1$ হলে $y=0$ এবং লেখচিত্র $(1,0)$ বিন্দুগামী। আবার $0 < a < 1$ হওয়ায় $x$ এর মান শূন্যের দিকে ধাবিত হলে $y$ এর মান ঋণাত্মক দিকে নয়, ধনাত্মক দিকে বাড়তে থাকে, অর্থাৎ $x \to 0$ হলে $f(x) \to \infty$। সুতরাং লেখচিত্রটি $y$-অক্ষের কাছাকাছি গিয়ে উপরের দিকে উঠে যায়, কিন্তু $y$-অক্ষকে স্পর্শ করে না।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর $x = \frac{1}{2}$ হলে $y = \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} = 1$; $x=1$ হলে $y = 0$; $x=2$ হলে $y = \log_{\frac{1}{2}} 2 = -1$; $x=4$ হলে $y = -2$। বিন্দুগুলো: $\left(\frac{1}{2}, 1\right), (1, 0), (2, -1), (4, -2)$। এগুলো ছক কাগজে স্থাপন করে মসৃণ বক্ররেখা দিয়ে যোগ করলে লেখচিত্র পাওয়া যায়। বৈশিষ্ট্য: (i) রেখাটি $(1,0)$ বিন্দুগামী; (ii) $x \to \infty$ হলে $y \to -\infty$, অর্থাৎ রেখাটি নিম্নগামী; (iii) $x \to 0$ হলে $y \to \infty$; (iv) লেখচিত্র সম্পূর্ণ $y$-অক্ষের ডানপাশে ($x>0$) অবস্থিত।