উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর আরোহ স্তরের প্রমাণে $n$ এর যেকোনো একটি নির্দিষ্ট মানের জন্য উক্তি $P(n)$ সত্য বলে ধরে নেওয়াকে আরোহ কল্পনা (Induction Hypothesis) বলে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর $n=1$ হলে, বামপক্ষ $S(1) = 1\cdot 2 = 2$ এবং ডানপক্ষ $= \frac{1\cdot 2\cdot 3}{3} = 2$। সুতরাং সত্য।
   $n=2$ হলে, $S(2) = 2 + 2\cdot 3 = 8$ এবং ডানপক্ষ $= \frac{2\cdot 3\cdot 4}{3} = 8$। সত্য।
   $n=3$ হলে, $S(3) = 8 + 3\cdot 4 = 20$ এবং ডানপক্ষ $= \frac{3\cdot 4\cdot 5}{3} = 20$। সত্য।
   স্বাভাবিক সংখ্যা অসংখ্য, তাই হাতে-কলমে কয়েকটি মান বসিয়ে মিলিয়ে দেখলে সকল $n$ এর জন্য সূত্রটি সত্য কি না নিশ্চিত হওয়া যায় না। গাণিতিক আরোহ বিধিতে প্রথমে $P(1)$ সত্য দেখাতে হয়, তারপর $P(n)$ সত্য ধরে নিয়ে $P(n+1)$ সত্য প্রমাণ করতে হয়। তবেই $P(1)\to P(2)\to P(3)\to\cdots$ ক্রমে সকল স্বাভাবিক সংখ্যার জন্য সূত্রটি সত্য প্রমাণিত হয়।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর মনে করি, $P(n): 1\cdot 2 + 2\cdot 3 + \cdots + n(n+1) = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}$।

   মূল ধাপ: $n=1$ হলে বামপক্ষ $= 1\cdot 2 = 2$ এবং ডানপক্ষ $= \frac{1\cdot 2\cdot 3}{3} = 2$। অতএব $P(1)$ সত্য।

   আরোহ কল্পনা: ধরি, $n=m$ এর জন্য $P(m)$ সত্য, অর্থাৎ
   $1\cdot 2 + 2\cdot 3 + \cdots + m(m+1) = \frac{m(m+1)(m+2)}{3}$ ... (i)

   আরোহ স্তর: (i) এর উভয়পক্ষে $(m+1)(m+2)$ যোগ করে পাই,
   $1\cdot 2 + 2\cdot 3 + \cdots + m(m+1) + (m+1)(m+2) = \frac{m(m+1)(m+2)}{3} + (m+1)(m+2)$
   $= (m+1)(m+2)\left(\frac{m}{3} + 1\right) = \frac{(m+1)(m+2)(m+3)}{3}$
   এটি $P(m+1)$ এর ডানপক্ষ, অর্থাৎ $n = m+1$ এর জন্যও সূত্রটি সত্য।

   সুতরাং, গাণিতিক আরোহ বিধি অনুসারে সকল $n \in N$ এর জন্য $S(n) = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}$। (প্রমাণিত)