উচ্চতর গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর যে দশমিক ভগ্নাংশে দশমিক বিন্দুর পরে এক বা একাধিক অঙ্ক বারবার একই ক্রমে অসীম পর্যন্ত আসতে থাকে, তাকে পৌনঃপুনিক বা আবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশ বলে। যেমন: $0.\dot{4}\dot{5}$।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর $p = 0.454545\dots = 0.45 + 0.0045 + 0.000045 + \dots$। এটি একটি অসীম গুণোত্তর ধারা, যার প্রথম পদ $a = 0.45$ এবং সাধারণ অনুপাত $r = \dfrac{0.0045}{0.45} = 0.01$। যেহেতু $|r| < 1$, তাই সমষ্টি $S_\infty = \dfrac{a}{1-r} = \dfrac{0.45}{1-0.01} = \dfrac{0.45}{0.99} = \dfrac{45}{99} = \mathbf{\dfrac{5}{11}}$। অতএব $p = \dfrac{5}{11}$।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর $q = 3.2161616\dots = 3.2 + 0.0161616\dots$। এখানে $0.0161616\dots = 0.016 + 0.00016 + 0.0000016 + \dots$ একটি অসীম গুণোত্তর ধারা, যার প্রথম পদ $a = 0.016$ এবং সাধারণ অনুপাত $r = \dfrac{0.00016}{0.016} = 0.01$। এর সমষ্টি $= \dfrac{0.016}{1-0.01} = \dfrac{0.016}{0.99} = \dfrac{16}{990} = \dfrac{8}{495}$। সুতরাং $q = 3.2 + \dfrac{8}{495} = \dfrac{16}{5} + \dfrac{8}{495} = \dfrac{16 \times 99 + 8}{495} = \dfrac{1584 + 8}{495} = \mathbf{\dfrac{1592}{495}}$।