উচ্চতর গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর $f(x) = |x| = x$ যখন $x \geq 0$ এবং $f(x) = -x$ যখন $x < 0$।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর সারণি থেকে দেখা যায়, $x$ ঋণাত্মক হয়ে $|x|$ বাড়লে $y$ এর মান যথাক্রমে $\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \dots$ অর্থাৎ ক্রমশ কমে শূন্যের কাছাকাছি যায়। অর্থাৎ $x \to -\infty$ হলে $y \to 0$। কিন্তু $y = 2^x$ এ ভিত্তি $2 > 0$ হওয়ায় $2^x$ সর্বদা ধনাত্মক হয়, তাই $y$ কখনো শূন্য বা ঋণাত্মক হয় না। এ কারণে ফাংশনটির রেঞ্জ $(0, \infty)$।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর $h(x) = 3^{-|x|}$ এবং $-2 < x < 0$।
   $x$ এর মান $-2$ ও $0$ এর মধ্যে নির্দিষ্ট, তাই ডোমেন $= (-2, 0)$।
   $x < 0$ হওয়ায় $|x| = -x$। সুতরাং $h(x) = 3^{-(-x)} = 3^x$।
   $3 > 1$ হওয়ায় $3^x$ বর্ধমান ফাংশন। $x = -2$ এ মান $3^{-2} = \dfrac{1}{9}$ এবং $x = 0$ এ মান $3^0 = 1$।
   $-2 < x < 0$ ব্যবধিতে প্রান্তবিন্দু দুটি অন্তর্ভুক্ত নয়, তাই $h(x)$ এর মান $\dfrac{1}{9}$ ও $1$ এর মধ্যে থাকে।
   $\therefore$ ডোমেন $= (-2, 0)$ এবং রেঞ্জ $= \left(\dfrac{1}{9}, 1\right)$