উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর যেসব অসমতা সম্পর্কযুক্ত চলকের শুধু নির্দিষ্ট কিছু মানের জন্য সত্য হয়, তাদের শর্তাধীন অসমতা বলে। যেমন $x + 1 > 1$ কেবল $x > 0$ এর জন্য সত্য।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর ছেদবিন্দুতে $f(x) = g(x)$।
   $x^2 - 4x = x - 6$
   বা, $x^2 - 5x + 6 = 0$
   বা, $(x - 2)(x - 3) = 0$
   সুতরাং $x = 2$ অথবা $x = 3$।
   $x = 2$ হলে $g(2) = 2 - 6 = -4$; $x = 3$ হলে $g(3) = 3 - 6 = -3$।
   অতএব ছেদবিন্দু দুইটি $(2, -4)$ এবং $(3, -3)$।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর $f(x) > g(x)$ হলে $x^2 - 5x + 6 > 0$, অর্থাৎ $(x - 2)(x - 3) > 0$।
   $f(x)$ এর লেখ উর্ধ্বমুখী পরাবৃত্ত এবং $g(x)$ সরলরেখাকে $x = 2$ ও $x = 3$ এ ছেদ করে। ছেদবিন্দুদ্বয়ের বাইরে পরাবৃত্তটি সরলরেখার ওপরে থাকে। ($2 < x < 3$ এর মাঝে $f(x) < g(x)$, যেমন $x = 2.5$ এ $f = -3.75 < g = -3.5$)।
   সুতরাং $f(x) > g(x)$ এর সমাধান: $x < 2$ অথবা $x > 3$, অর্থাৎ $(-\infty, 2) \cup (3, \infty)$।
   $-5 \le x \le 5$ এর মধ্যে:
   $x < 2$ অংশে পূর্ণসংখ্যা: $-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1$ অর্থাৎ $7$ টি।
   $x > 3$ অংশে পূর্ণসংখ্যা: $4, 5$ অর্থাৎ $2$ টি।
   ($x = 2$ ও $x = 3$ এ লেখ দুইটি ছেদ করে বলে এরা অন্তর্ভুক্ত নয়।)
   মোট পূর্ণসংখ্যা $= 7 + 2 = 9$ টি।