উচ্চতর গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর যায় না। কারণ মধ্যমা $AD$ হলো $A$ থেকে ভূমির রেখার উপর কোনো বিন্দু পর্যন্ত দূরত্ব, যা $A$ থেকে ভূমির লম্ব দূরত্ব অর্থাৎ উচ্চতার চেয়ে কম হতে পারে না। তাই মধ্যমা উচ্চতার চেয়ে কম হলে বৃত্তচাপ ভূমির রেখাকে ছেদ করে না।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর $A$ থেকে ভূমির রেখা $BE$ এর উপর লম্ব $AH = 3$ সে.মি.। সমকোণী $\triangle ABH$ এ $\angle B = 30^\circ$ বলে $AB = 6$ সে.মি. এবং $BH = \sqrt{6^2 - 3^2} = 3\sqrt{3} \approx 5.196$ সে.মি.। $A$ কে কেন্দ্র করে 5 সে.মি. ব্যাসার্ধের বৃত্তচাপ $BE$ কে $D$ ও $D'$ বিন্দুতে ছেদ করে, যেখানে $HD = HD' = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4$ সে.মি.। যেহেতু $BH = 5.196 > 4$, তাই $D$ ও $D'$ দুটি বিন্দুই $B$ এর একই পাশে $BE$ রশ্মির উপর পড়ে। ফলে দুটি আলাদা মধ্যবিন্দু $D$ ও $D'$ পাওয়া যায় এবং $DC = BD$, $D'C' = BD'$ কেটে দুটি ভিন্ন ত্রিভুজ অঙ্কন করা সম্ভব।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর পূর্বের অংশ থেকে $BH = 3\sqrt{3}$ সে.মি. এবং $HD = HD' = 4$ সে.মি.।
   প্রথম ক্ষেত্রে: $BD = BH + HD = 3\sqrt{3} + 4 \approx 5.196 + 4 = 9.196$ সে.মি.। $D$ মধ্যবিন্দু বলে $BC = 2BD \approx 2 \times 9.196 = 18.39$ সে.মি.।
   দ্বিতীয় ক্ষেত্রে: $BD' = BH - HD' = 3\sqrt{3} - 4 \approx 5.196 - 4 = 1.196$ সে.মি.। $D'$ মধ্যবিন্দু বলে $BC' = 2BD' \approx 2 \times 1.196 = 2.39$ সে.মি.।
   উত্তর: ভূমির দৈর্ঘ্য যথাক্রমে প্রায় 18.39 সে.মি. ও 2.39 সে.মি.।