উচ্চতর গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর ভিত্তি পরিবর্তনের সূত্র: $\log_a M = \log_b M \times \log_a b$।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর আমরা জানি, $\log_a a = 1$। এখন, $1 + p = \log_a a + \log_a (bc)$। লগারিদমের গুণফলের সূত্র অনুযায়ী $\log_a M + \log_a N = \log_a (MN)$। সুতরাং $1 + p = \log_a (a \cdot bc) = \log_a (abc)$। (দেখানো হলো)

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর (খ) থেকে $1 + p = \log_a (abc)$।
   একইভাবে $1 + q = \log_b b + \log_b (ca)$ থেকে $1 + q = \log_b (abc)$ এবং $1 + r = \log_c (abc)$।
   ভিত্তি পরিবর্তনের সূত্র অনুযায়ী $\log_a (abc) \times \log_{abc} a = \log_a a = 1$, অর্থাৎ $\dfrac{1}{\log_a (abc)} = \log_{abc} a$।
   একইভাবে $\dfrac{1}{\log_b (abc)} = \log_{abc} b$ এবং $\dfrac{1}{\log_c (abc)} = \log_{abc} c$।
   $\therefore$ বামপক্ষ $= \dfrac{1}{\log_a (abc)} + \dfrac{1}{\log_b (abc)} + \dfrac{1}{\log_c (abc)}$
   $= \log_{abc} a + \log_{abc} b + \log_{abc} c$
   $= \log_{abc} (a \cdot b \cdot c) = \log_{abc} (abc) = 1 =$ ডানপক্ষ।
   $\therefore \dfrac{1}{p+1} + \dfrac{1}{q+1} + \dfrac{1}{r+1} = 1$ (প্রমাণিত)