উচ্চতর গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর $\sin\theta = \dfrac{y}{r}$ এবং $\cos\theta = \dfrac{x}{r}$।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর প্রান্তিক বাহু $OA$ এর ওপর $P(x, y)$ ও $P_1(x_1, y_1)$ দুটি বিন্দু নিয়ে $x$-অক্ষের ওপর লম্ব টানলে দুটি সমকোণী ত্রিভুজ উৎপন্ন হয়। ত্রিভুজ দুটি সদৃশ, কারণ $\theta$ কোণ সাধারণ এবং দুটিই সমকোণী। সদৃশতার কারণে $\dfrac{x}{r} = \dfrac{x_1}{r_1}$ এবং $\dfrac{y}{r} = \dfrac{y_1}{r_1}$ হয় ($x, x_1$ এবং $y, y_1$ একই চিহ্নযুক্ত)। ফলে $\sin\theta$, $\cos\theta$, $\tan\theta$ ইত্যাদির মান উভয় বিন্দুর জন্য একই পাওয়া যায়। তাই অনুপাতগুলো বিন্দুর অবস্থানের ওপর নির্ভর করে না।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর এখানে $x = -12$, $y = 5$।
   $r = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{(-12)^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$।
   $\sin\theta = \dfrac{y}{r} = \dfrac{5}{13}$
   $\cos\theta = \dfrac{x}{r} = -\dfrac{12}{13}$
   $\tan\theta = \dfrac{y}{x} = -\dfrac{5}{12}$
   $\csc\theta = \dfrac{r}{y} = \dfrac{13}{5}$
   $\sec\theta = \dfrac{r}{x} = -\dfrac{13}{12}$
   $\cot\theta = \dfrac{x}{y} = -\dfrac{12}{5}$
   যাচাই: $\sin^2\theta + \cos^2\theta = \left(\dfrac{5}{13}\right)^2 + \left(-\dfrac{12}{13}\right)^2 = \dfrac{25}{169} + \dfrac{144}{169} = \dfrac{169}{169} = 1$। (প্রমাণিত)
   লক্ষণীয়: $x$ ঋণাত্মক ও $y$ ধনাত্মক হওয়ায় কোণটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে এবং কেবল $\sin$ ও $\csc$ ধনাত্মক।