একটি সমতলে তিনটি বাঁশের খুঁটি O, A ও B অবস্থিত। মূলবিন্…

উচ্চতর গণিত • সমতলীয় ভেক্টর (Planar Vector)

একটি সমতলে তিনটি বাঁশের খুঁটি $O$ , $A$ ও $B$ অবস্থিত। মূলবিন্দু $O$ সাপেক্ষে $A$ ও $B$ বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে $\underline{a}$ ও $\underline{b}$ । $A$ ও $B$ খুঁটির মাঝখানে $M$ বিন্দুতে একটি বাতি লাগানো হয়েছে, যেখানে $M$ হলো $AB$ এর মধ্যবিন্দু।

ক)
অবস্থান ভেক্টর কাকে বলে?
(2)
খ)
উদ্দীপকের আলোকে $\vec{AB}$ কে $\underline{a}$ ও $\underline{b}$ এর মাধ্যমে প্রকাশ করো এবং ব্যাখ্যা করো।
(4)
গ)
$M$ বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর $\vec{OM}$ নির্ণয় করো এবং দেখাও যে, $\vec{OA} + \vec{OB} = 2\vec{OM}$ ।
(4)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

ক)
AI-তৈরি নমুনা উত্তর সমতলের কোনো নির্দিষ্ট বিন্দু $O$ সাপেক্ষে ঐ সমতলের যেকোনো বিন্দু $P$ এর অবস্থান যে ভেক্টর $\vec{OP}$ দ্বারা নির্দিষ্ট করা হয়, তাকে $O$ সাপেক্ষে $P$ বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর বলে।
খ)
AI-তৈরি নমুনা উত্তর $O$ , $A$ , $B$ যোগ করলে $\triangle OAB$ পাওয়া যায়। ভেক্টর যোগের ত্রিভুজবিধি অনুসারে $\vec{OA} + \vec{AB} = \vec{OB}$ , অর্থাৎ $\underline{a} + \vec{AB} = \underline{b}$ । উভয় পক্ষ থেকে $\underline{a}$ বিয়োগ করে পাই $\vec{AB} = \underline{b} - \underline{a}$ । অর্থাৎ দুটি বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর জানা থাকলে তাদের সংযোজক রেখাংশ দ্বারা সূচিত ভেক্টর পাওয়া যায় প্রান্তবিন্দুর অবস্থান ভেক্টর থেকে আদিবিন্দুর অবস্থান ভেক্টর বিয়োগ করে।
গ)
AI-তৈরি নমুনা উত্তর $M$ হলো $AB$ এর মধ্যবিন্দু, সুতরাং $\vec{AM} = \dfrac{1}{2}\vec{AB}$ ।
আবার $\vec{AB} = \underline{b} - \underline{a}$ ।
ত্রিভুজবিধি অনুসারে $\vec{OM} = \vec{OA} + \vec{AM} = \underline{a} + \dfrac{1}{2}(\underline{b} - \underline{a}) = \underline{a} - \dfrac{1}{2}\underline{a} + \dfrac{1}{2}\underline{b} = \dfrac{1}{2}(\underline{a} + \underline{b})$ ।
অতএব $M$ বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর $\vec{OM} = \dfrac{\underline{a} + \underline{b}}{2}$ ।
এখন $2\vec{OM} = \underline{a} + \underline{b} = \vec{OA} + \vec{OB}$ ।
সুতরাং $\vec{OA} + \vec{OB} = 2\vec{OM}$ । (দেখানো হলো)

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করো ওয়েবে খুলো

উচ্চতর গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা