উচ্চতর গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর $ax^2 + bx + c = 0$ ($a \neq 0$) দ্বিঘাত সমীকরণে $b^2 - 4ac$ রাশিটিকে সমীকরণটির নিশ্চায়ক বলে। এটি সমীকরণের মূলদ্বয়ের ধরন ও প্রকৃতি নির্ণয় করে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর (i) নং সমীকরণ $3x^2 + 7x + 1 = 0$ কে $ax^2 + bx + c = 0$ এর সাথে তুলনা করে পাই, $a = 3$, $b = 7$, $c = 1$। নিশ্চায়ক $= b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \times 3 \times 1 = 49 - 12 = 37$। এখানে $37 > 0$, তাই মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান। আবার $37$ কোনো পূর্ণবর্গ সংখ্যা নয়, তাই মূলদ্বয় অমূলদ। মূলদ্বয় $x = \frac{-7 \pm \sqrt{37}}{6}$, যা বাস্তব, অসমান ও অমূলদ। সুতরাং উক্তিটি সঠিক।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর (ii) নং সমীকরণে $a = 1$, $b = -(k+2)$, $c = 9$। মূলদ্বয় সমান হলে নিশ্চায়ক $= 0$ হবে। অর্থাৎ $(k+2)^2 - 4 \times 1 \times 9 = 0$ বা, $(k+2)^2 = 36$ বা, $k + 2 = \pm 6$। $k + 2 = 6$ হলে $k = 4$ এবং $k + 2 = -6$ হলে $k = -8$। সুতরাং $k = 4$ অথবা $-8$। ধনাত্মক মান $k = 4$ হলে সমীকরণটি হয় $x^2 - 6x + 9 = 0$ বা, $(x-3)^2 = 0$। অতএব মূলদ্বয় $x = -\frac{b}{2a} = \frac{6}{2} = 3, 3$। নির্ণেয় মান $k = 4, -8$ এবং ধনাত্মক $k$ এর জন্য মূলদ্বয় $3, 3$।