উচ্চতর গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর $f(1) = \dfrac{3\times 1 - 1}{1+2} = \dfrac{2}{3}$

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর ধরি, $x_1, x_2 \in$ ডোম $f$ এবং $f(x_1) = f(x_2)$। তাহলে $\dfrac{3x_1-1}{x_1+2} = \dfrac{3x_2-1}{x_2+2}$। উভয় পক্ষ থেকে 3 বিয়োগ করে পাই $\dfrac{-7}{x_1+2} = \dfrac{-7}{x_2+2}$ বা $x_1 + 2 = x_2 + 2$, অর্থাৎ $x_1 = x_2$। যেহেতু $f(x_1)=f(x_2)$ হলে $x_1=x_2$ হয়, তাই $f$ ফাংশনটি এক-এক।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর $f(x) = 3 - \dfrac{7}{x+2}$ হওয়ায় $f(x)$ কখনো $3$ হয় না এবং $3$ ছাড়া কোডোমেনের প্রতিটি মানই পাওয়া যায়; তাই $f$ সার্বিক এবং এক-এক, ফলে $f^{-1}$ বিদ্যমান। ধরি $y = f(x) = \dfrac{3x-1}{x+2}$। তাহলে $xy + 2y = 3x - 1$ বা $x(y-3) = -(2y+1)$, অর্থাৎ $x = \dfrac{2y+1}{3-y}$। $x = f^{-1}(y)$ হওয়ায় $f^{-1}(y) = \dfrac{2y+1}{3-y}$। চলক পরিবর্তন করে $f^{-1}(x) = \dfrac{2x+1}{3-x},\ x \neq 3$। এখন $f^{-1}(5) = \dfrac{2\times5+1}{3-5} = \dfrac{11}{-2} = -\dfrac{11}{2}$। যাচাই: $f\left(-\frac{11}{2}\right) = \dfrac{-\frac{33}{2}-1}{-\frac{11}{2}+2} = \dfrac{-\frac{35}{2}}{-\frac{7}{2}} = 5$। উত্তর: $f^{-1}(x) = \dfrac{2x+1}{3-x}$ এবং $f^{-1}(5) = -\dfrac{11}{2}$।