উচ্চতর গণিত • ত্রিকোণমিতি (Trigonometry)

উচ্চতর গণিত প্রশ্ন

গণিত ক্লাবের একটি কার্যপত্রে তিনটি কোণ দেওয়া আছে: α=3π4\alpha=\frac{3\pi}{4}, β=5π6\beta=\frac{5\pi}{6} এবং γ=2π3\gamma=\frac{2\pi}{3}। কোণগুলোকে (π2+θ)\left(\frac{\pi}{2}+\theta\right) আকারে প্রকাশ করে অনুপাত নির্ণয় করতে হবে, যেখানে 0<θ<π20<\theta<\frac{\pi}{2}।

  1. ক)

    sin⁡(π2+θ)\sin\left(\frac{\pi}{2}+\theta\right) কে θ\theta এর অনুপাতে প্রকাশ কর।

    (2)
  2. খ)

    cos⁡(π2+θ)=−sin⁡θ\cos\left(\frac{\pi}{2}+\theta\right)=-\sin\theta হয় কেন, ব্যাখ্যা কর।

    (4)
  3. গ)

    sec⁡α⋅cosec β⋅cot⁡γ\sec\alpha\cdot\text{cosec}\,\beta\cdot\cot\gamma এর মান নির্ণয় কর।

    (4)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর sin⁡(π2+θ)=cos⁡θ\sin\left(\frac{\pi}{2}+\theta\right)=\cos\theta।

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর ঘূর্ণায়মান রশ্মি OAOA এর ওপর P(x,y)P(x,y) এবং π2\frac{\pi}{2} কোণ বেশি ঘুরে উৎপন্ন রশ্মি OA′OA' এর ওপর OQ=OP=rOQ=OP=r হয় এমন QQ নিই। সমকোণী ত্রিভুজ POMPOM ও QONQON সর্বসম হওয়ায় QN=OM=xQN=OM=x এবং ON=PMON=PM পাওয়া যায়। QQ দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত বলে এর ভুজ ঋণাত্মক, অর্থাৎ Q(−y,x)Q(-y,x)। তাই cos⁡(π2+θ)=−yr=−yr=−sin⁡θ\cos\left(\frac{\pi}{2}+\theta\right)=\frac{-y}{r}=-\frac{y}{r}=-\sin\theta।

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর sec⁡3π4=sec⁡(π2+π4)=−cosecπ4=−2\sec\frac{3\pi}{4}=\sec\left(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4}\right)=-\text{cosec}\frac{\pi}{4}=-\sqrt{2}। cosec5π6=cosec(π2+π3)=sec⁡π3=2\text{cosec}\frac{5\pi}{6}=\text{cosec}\left(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{3}\right)=\sec\frac{\pi}{3}=2। cot⁡2π3=cot⁡(π2+π6)=−tan⁡π6=−13\cot\frac{2\pi}{3}=\cot\left(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{6}\right)=-\tan\frac{\pi}{6}=-\frac{1}{\sqrt{3}}। ∴ sec⁡α⋅cosec β⋅cot⁡γ=(−2)×2×(−13)=223=263\therefore\ \sec\alpha\cdot\text{cosec}\,\beta\cdot\cot\gamma=(-\sqrt{2})\times2\times\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{6}}{3}।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো