উচ্চতর গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর যে ভেক্টরের দৈর্ঘ্য বা মান $1$ একক, তাকে একক ভেক্টর বলে। কোনো অশূন্য ভেক্টর $\underline{a}$ এর দিকে একক ভেক্টর হলো $\dfrac{1}{|\underline{a}|}\underline{a}$।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর সামান্তরিকের বিপরীত বাহু সমান ও সমান্তরাল বলে $\vec{DC} = \vec{AB} = \underline{p}$।
   ত্রিভুজবিধি অনুযায়ী $\vec{AC} = \vec{AD} + \vec{DC} = \underline{q} + \underline{p}$।
   আবার $\vec{AB} + \vec{BD} = \vec{AD}$ হওয়ায় $\vec{BD} = \vec{AD} - \vec{AB} = \underline{q} - \underline{p}$।
   এখন $\vec{AC} + \vec{BD} = (\underline{p} + \underline{q}) + (\underline{q} - \underline{p}) = 2\underline{q} = 2\vec{AD}$। (দেখানো হলো)

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর $O$ হলো $AC$ এর মধ্যবিন্দু, তাই $\vec{AO} = \dfrac{1}{2}\vec{AC} = \dfrac{1}{2}(\underline{p} + \underline{q})$।
   এখন $\vec{BO} = \vec{BA} + \vec{AO}$। এখানে $\vec{BA} = -\vec{AB} = -\underline{p}$।
   সুতরাং $\vec{BO} = -\underline{p} + \dfrac{1}{2}(\underline{p} + \underline{q}) = \dfrac{1}{2}(\underline{q} - \underline{p})$।
   কিন্তু $\vec{BD} = \underline{q} - \underline{p}$, অতএব $\vec{BO} = \dfrac{1}{2}\vec{BD}$।
   এর অর্থ $\vec{BO}$ ও $\vec{BD}$ একই দিকে এবং $BO = \dfrac{1}{2}BD$। যেহেতু $B$ বিন্দু উভয়ের সাধারণ বিন্দু, তাই $O$ বিন্দু $BD$ রেখাংশের উপর অবস্থিত এবং এর মধ্যবিন্দু।
   অতএব সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে। (প্রমাণিত)