উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর $\hat{i}\times\hat{j}=\hat{k}$, কারণ $\hat{i},\hat{j}$ পরস্পর লম্ব একক ভেক্টর এবং গুণফলের দিক ডানহাতি স্ক্রু নিয়মে $Z$-অক্ষ বরাবর।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর দুইটি ভেক্টরের ক্রস গুণজের দিক ডানহাতি স্ক্রু নিয়মে নির্ধারিত হয়, ফলে গুণের ক্রম বদলালে দিক উল্টে যায়, তাই $\mathbf{a}\times\mathbf{b}=-(\mathbf{b}\times\mathbf{a})$।
   এখানে $\overrightarrow{AB}=2\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$, $\overrightarrow{AC}=\hat{i}+3\hat{j}+\hat{k}$।
   $\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=\hat{i}(1+3)-\hat{j}(2+1)+\hat{k}(6-1)=4\hat{i}-3\hat{j}+5\hat{k}$।
   আবার $\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{AB}=-4\hat{i}+3\hat{j}-5\hat{k}$, যা বিপরীত ভেক্টর। মান সমান কিন্তু দিক বিপরীত, তাই বিনিময় সূত্র খাটে না।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর ত্রিভুজ ABC এর ক্ষেত্রফল $=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}|$।
   $\overrightarrow{AB}=2\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$, $\overrightarrow{AC}=\hat{i}+3\hat{j}+\hat{k}$।
   $\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=\begin{vmatrix}\hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\2&1&-1\\1&3&1\end{vmatrix}=4\hat{i}-3\hat{j}+5\hat{k}$।
   $|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}|=\sqrt{16+9+25}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$।
   $\therefore$ ক্ষেত্রফল $=\frac{5\sqrt{2}}{2}\approx3.54$ বর্গ একক।