উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর বাস্তব সংখ্যার একটি অশূন্য উপসেট $S$ এর সকল $x$ এর জন্য যদি $x \le M$ হয়, তবে $M$ কে $S$ সেটের ঊর্ধ্বসীমা বলে। ঊর্ধ্বসীমাগুলোর মধ্যে ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি লঘিষ্ঠ ঊর্ধ্বসীমা।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর $A = [-3, 4)$ সেটের সকল $x$ এর জন্য $-3 \le x < 4$।
   সুতরাং $4$ একটি ঊর্ধ্বসীমা এবং $4$ এর চেয়ে বড় সকল সংখ্যাও ঊর্ধ্বসীমা। এদের মধ্যে ক্ষুদ্রতম সংখ্যা $4$। অতএব লঘিষ্ঠ ঊর্ধ্বসীমা $\sup A = 4$।
   আবার $-3$ একটি নিম্নসীমা এবং $-3$ এর চেয়ে ছোট সকল সংখ্যাও নিম্নসীমা। এদের মধ্যে বৃহত্তম সংখ্যা $-3$। অতএব গরিষ্ঠ নিম্নসীমা $\inf A = -3$।
   ব্যাখ্যা: $A$ সেটটি $4$ এর দিকে খোলা ব্যবধি, অর্থাৎ শর্তে $x < 4$ আছে, $x \le 4$ নেই। তাই $4 \notin A$। ফলে লঘিষ্ঠ ঊর্ধ্বসীমা $4$ সেটটির সদস্য নয়।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর $A = [-3, 4)$ এবং $B = (1, 7]$।
   $A \cap B$: যেসব $x$ উভয় সেটে আছে, অর্থাৎ $1 < x < 4$। সুতরাং $A \cap B = (1, 4)$।
   $A \cup B$: $A$ এর শুরু $-3$ (অন্তর্ভুক্ত) থেকে $B$ এর শেষ $7$ (অন্তর্ভুক্ত) পর্যন্ত সব সংখ্যা, কারণ দুইটি ব্যবধি $1$ ও $4$ এর মাঝে অধিক্রমণ করেছে। সুতরাং $A \cup B = [-3, 7]$।
   সংখ্যারেখায় বর্ণনা: $A \cap B$ এর জন্য $1$ ও $4$ বিন্দুতে ফাঁকা বৃত্ত (○) দিয়ে মধ্যবর্তী অংশ গাঢ় করতে হবে। $A \cup B$ এর জন্য $-3$ ও $7$ বিন্দুতে ভরাট বৃত্ত (●) দিয়ে এদের মধ্যবর্তী পুরো অংশ গাঢ় করতে হবে।