উচ্চতর গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর যে ভেক্টরের মান শূন্য এবং যার কোনো নির্দিষ্ট দিক নির্ণয় করা যায় না, তাকে শূন্য ভেক্টর বলে। একে $\underline{0}$ দ্বারা সূচিত করা হয়।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর মনে করি $\vec{AB}=m\underline{u}$, তাহলে $|\vec{AB}|=m|\underline{u}|$। $AB$ কে $C$ পর্যন্ত বর্ধিত করি যেন $|\vec{BC}|=n|\underline{u}|$ হয়, তাহলে $\vec{BC}=n\underline{u}$। এখন $|\vec{AC}|=|\vec{AB}|+|\vec{BC}|=m|\underline{u}|+n|\underline{u}|=(m+n)|\underline{u}|$ এবং $\vec{AC}$ এর দিক $\underline{u}$ এর দিকে। তাই $\vec{AC}=(m+n)\underline{u}$। কিন্তু ত্রিভুজবিধি অনুযায়ী $\vec{AC}=\vec{AB}+\vec{BC}=m\underline{u}+n\underline{u}$। সুতরাং $(m+n)\underline{u}=m\underline{u}+n\underline{u}$। (প্রমাণিত)

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর সামনের দিক ধনাত্মক ধরলে পেছনের 7 ধাপ হলো $-7\underline{u}$। প্রথম প্রোগ্রামে সরণ $=4\underline{u}+(-7)\underline{u}=(4-7)\underline{u}=-3\underline{u}$ (বণ্টনসূত্র অনুযায়ী)।

   $|-3\underline{u}|=3\times 2.5=7.5$ মিটার এবং $m=-3<0$ বলে দিক $\underline{u}$ এর বিপরীত, অর্থাৎ পেছনের দিকে। সুতরাং রোবট শুরুর বিন্দু থেকে পেছনে 7.5 মিটার দূরে থাকবে।

   দ্বিতীয় প্রোগ্রামে সরণ $=2(3\underline{u})=(2\times3)\underline{u}=6\underline{u}$। আবার $3(2\underline{u})=(3\times2)\underline{u}=6\underline{u}$। অতএব $2(3\underline{u})=3(2\underline{u})=6\underline{u}$, অর্থাৎ সরণ সমান।

   এর মান $=6\times2.5=15$ মিটার, দিক সামনের দিকে ($\underline{u}$ এর দিকে)।

   উত্তর: প্রথম প্রোগ্রামে সরণের মান $7.5$ মিটার (পেছনের দিকে); দ্বিতীয় প্রোগ্রামে সরণ $6\underline{u}$, মান $15$ মিটার (সামনের দিকে)।