উচ্চতর গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র প্রত্যেক মধ্যমাকে শীর্ষ থেকে $2 : 1$ অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে $AB^2 = AC^2 + BC^2 = 64 + 36 = 100$ বা $AB = 10$ মিটার। $AF = BF = 5$ মিটার।
   অ্যাপোলোনিয়াসের উপপাদ্য অনুসারে $CA^2 + CB^2 = 2(CF^2 + AF^2)$
   বা, $64 + 36 = 2(CF^2 + 25)$
   বা, $100 = 2CF^2 + 50$
   বা, $CF^2 = 25$
   বা, $CF = 5$ মিটার।
   অর্থাৎ অতিভুজের উপর অঙ্কিত মধ্যমা অতিভুজের অর্ধেকের সমান।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর ধরি $BC = a = 6$, $CA = b = 8$, $AB = c = 10$ এবং মধ্যমা $AD = d$, $BE = e$, $CF = f$।

   মধ্যমার সূত্র থেকে, $d^2 = \frac{2(b^2 + c^2) - a^2}{4} = \frac{2(64 + 100) - 36}{4} = \frac{292}{4} = 73$,
   $e^2 = \frac{2(c^2 + a^2) - b^2}{4} = \frac{2(100 + 36) - 64}{4} = \frac{208}{4} = 52$,
   $f^2 = \frac{2(a^2 + b^2) - c^2}{4} = \frac{2(36 + 64) - 100}{4} = 25$।

   $G$ ভরকেন্দ্র বলে $GA = \frac{2}{3}d$, $GB = \frac{2}{3}e$, $GC = \frac{2}{3}f$।
   সুতরাং $GA^2 + GB^2 + GC^2 = \frac{4}{9}(d^2 + e^2 + f^2) = \frac{4}{9}(73 + 52 + 25) = \frac{4}{9} \times 150 = \frac{200}{3}$।

   আবার মধ্যমাত্রয়ের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রগুলোর ক্ষেত্রফলের সমষ্টির দ্বিগুণ $= 2(d^2 + e^2 + f^2) = 2 \times 150 = 300$ এবং অতিভুজের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের তিনগুণ $= 3c^2 = 3 \times 100 = 300$।

   অতএব $GA^2 + GB^2 + GC^2 = \frac{200}{3}$ এবং $2(d^2 + e^2 + f^2) = 3c^2$ [দেখানো হলো]।