উচ্চতর গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর $\sec^2\theta-\tan^2\theta=1$।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর $\cos^2\theta=1-\sin^2\theta$ বসিয়ে পাই, $2\sin^2\theta+5(1-\sin^2\theta)=3$ বা, $5-3\sin^2\theta=3$ বা, $\sin^2\theta=\frac{2}{3}$। $\therefore\cos^2\theta=1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$। $\tan^2\theta=\frac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta}=\frac{2/3}{1/3}=2$। $\theta$ সূক্ষ্মকোণ হওয়ায় $\tan\theta=\sqrt{2}$।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর বামপক্ষ $=\sqrt{\frac{(1+\cos\theta)^2}{(1-\cos\theta)(1+\cos\theta)}}=\sqrt{\frac{(1+\cos\theta)^2}{1-\cos^2\theta}}=\sqrt{\frac{(1+\cos\theta)^2}{\sin^2\theta}}=\frac{1+\cos\theta}{\sin\theta}$ [সূক্ষ্মকোণের জন্য $\sin\theta>0$]। $=\frac{1}{\sin\theta}+\frac{\cos\theta}{\sin\theta}=\text{cosec}\,\theta+\cot\theta=$ ডানপক্ষ (প্রমাণিত)। এখন $\sin\theta=\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$ ও $\cos\theta=\frac{1}{\sqrt{3}}$। $\text{cosec}\,\theta=\frac{3}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$ এবং $\cot\theta=\frac{1}{\tan\theta}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$। $\therefore$ মান $=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$।