উচ্চতর গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর $\binom{8}{3} = \dfrac{8!}{3!\,5!} = \dfrac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = \mathbf{56}$।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর আমরা জানি $\binom{n}{r} = \binom{n}{n-r}$, অর্থাৎ $\binom{n}{r}$ এর মান সমান হলে হয় $r$ সমান, নয়তো $r$ দুটির যোগফল $n$ হয়। এখানে $5 \ne 7$, তাই $n = 5 + 7 = 12$। এখন $\binom{12}{2} = \dfrac{12!}{2!\,10!} = \dfrac{12 \times 11}{2} = \mathbf{66}$।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর $(2+kx)^6$ এর বিস্তৃতিতে $x^2$ যুক্ত পদটি হলো তৃতীয় পদ। এটি $\binom{6}{2} \cdot 2^{4} \cdot (kx)^2 = 15 \times 16 \times k^2 x^2 = 240k^2 x^2$। অতএব $x^2$ এর সহগ $240k^2$। শর্তমতে, $240k^2 = 3840$ বা, $k^2 = 16$ বা, $k = \pm 4$। সুতরাং $k = \mathbf{\pm 4}$।