উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ $\mathbf{r}=\mathbf{a}+t\mathbf{v}$, যেখানে $t$ একটি স্কেলার প্যারামিটার এবং $\mathbf{r}$ রেখার উপরস্থ যেকোনো বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর রেখার দিক ভেক্টর $\overrightarrow{AB}=\mathbf{b}-\mathbf{a}=(4-2)\hat{i}+(1+1)\hat{j}+(2-3)\hat{k}=2\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k}$।
   রেখাটি $A$ বিন্দুগামী, তাই ভেক্টর সমীকরণ $\mathbf{r}=\mathbf{a}+t(\mathbf{b}-\mathbf{a})$
   অর্থাৎ $\mathbf{r}=(2\hat{i}-\hat{j}+3\hat{k})+t(2\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k})$, যেখানে $t$ একটি স্কেলার।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর সড়কের সমীকরণ: $\mathbf{r}=(2+2t)\hat{i}+(-1+2t)\hat{j}+(3-t)\hat{k}$।
   P$(6,3,1)$ রেখার উপর থাকলে কোনো $t$ এর জন্য $2+2t=6$, $-1+2t=3$ এবং $3-t=1$ হতে হবে।
   প্রথম সমীকরণ হতে $t=2$। দ্বিতীয় সমীকরণে $-1+2\cdot2=3$ সিদ্ধ হয়। তৃতীয় সমীকরণে $3-2=1$ সিদ্ধ হয়।
   তিনটি স্থানাঙ্কের জন্য $t=2$ একই মান পাওয়া যায়, সুতরাং P বিন্দুটি সড়কের উপর অবস্থিত। (দেখানো হলো)