উচ্চতর গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর যে পিরামিডের ভূমি একটি সুষম বহুভুজ এবং শীর্ষবিন্দু থেকে ভূমির উপর অঙ্কিত লম্ব ভূমির কেন্দ্র দিয়ে যায়, তাকে সুষম পিরামিড বলে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর পিরামিডের উচ্চতা $h = 5$ মি.। ভূমির কেন্দ্র থেকে ভূমির বাহুর উপর লম্ব দূরত্ব $= \frac{24}{2} = 12$ মি.। শীর্ষ থেকে ভূমির কেন্দ্র, ভূমির কেন্দ্র থেকে বাহুর মধ্যবিন্দু এবং শীর্ষ থেকে ঐ মধ্যবিন্দু যুক্ত করলে একটি সমকোণী ত্রিভুজ হয়। তাই পার্শ্বতলের হেলানো উচ্চতা $l = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$ মিটার। প্রতিটি পার্শ্বতল একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ যার ভূমি $24$ মি. ও উচ্চতা $13$ মি.। চারটি পার্শ্বতলের মোট ক্ষেত্রফল $= 4 \times \frac{1}{2} \times 24 \times 13 = 624$ বর্গমিটার।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর পিরামিডের ভূমির ক্ষেত্রফল $= 24 \times 24 = 576$ বর্গমিটার। পিরামিড আকৃতির স্মৃতিস্তম্ভের আয়তন $= \frac{1}{3} \times 576 \times 5 = 960$ ঘনমিটার। প্রিজমের ভূমি পিরামিডের ভূমির সমান এবং উচ্চতাও সমান, অর্থাৎ ভূমির ক্ষেত্রফল $576$ বর্গমিটার ও উচ্চতা $5$ মিটার। প্রিজমের আয়তন $= \text{ভূমির ক্ষেত্রফল} \times \text{উচ্চতা} = 576 \times 5 = 2880$ ঘনমিটার। অনুপাত $= \frac{2880}{960} = 3$। সুতরাং প্রিজম আকৃতির মঞ্চের আয়তন স্মৃতিস্তম্ভের আয়তনের $3$ গুণ। অর্থাৎ পিরামিডের আয়তন সমান ভূমি ও উচ্চতাবিশিষ্ট প্রিজমের আয়তনের এক-তৃতীয়াংশ।