উচ্চতর গণিত • ত্রিকোণমিতি (Trigonometry)

উচ্চতর গণিত প্রশ্ন

একটি চাকার একটি বিন্দু আদি অবস্থান থেকে ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে ঘুরে প্রথমে θ\theta কোণ এবং এরপর আরও π\pi কোণ ঘুরে তৃতীয় চতুর্ভাগে অবস্থান নেয়, ফলে মোট কোণ (π+θ)(\pi+\theta) হয়। এখানে 0<θ<π20<\theta<\frac{\pi}{2}।

  1. ক)

    tan⁡(π+θ)\tan(\pi+\theta) কে θ\theta এর অনুপাতে প্রকাশ কর।

    (2)
  2. খ)

    θ=π6\theta=\frac{\pi}{6} হলে sin⁡(π+θ)\sin(\pi+\theta) ও cos⁡(π+θ)\cos(\pi+\theta) এর মান নির্ণয় করে দেখাও যে, sin⁡2(π+θ)+cos⁡2(π+θ)=1\sin^2(\pi+\theta)+\cos^2(\pi+\theta)=1।

    (4)
  3. গ)

    sin⁡(π+θ)cos⁡(−θ)tan⁡(π+θ)\dfrac{\sin(\pi+\theta)\cos(-\theta)}{\tan(\pi+\theta)} কে সরল কর এবং θ=π3\theta=\frac{\pi}{3} হলে এর মান নির্ণয় কর।

    (4)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর tan⁡(π+θ)=tan⁡θ\tan(\pi+\theta)=\tan\theta।

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর sin⁡(π+θ)=−sin⁡θ\sin(\pi+\theta)=-\sin\theta ও cos⁡(π+θ)=−cos⁡θ\cos(\pi+\theta)=-\cos\theta। θ=π6\theta=\frac{\pi}{6} হলে sin⁡7π6=−sin⁡π6=−12\sin\frac{7\pi}{6}=-\sin\frac{\pi}{6}=-\frac{1}{2} এবং cos⁡7π6=−cos⁡π6=−32\cos\frac{7\pi}{6}=-\cos\frac{\pi}{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2}। এখন sin⁡27π6+cos⁡27π6=14+34=1\sin^2\frac{7\pi}{6}+\cos^2\frac{7\pi}{6}=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=1 (দেখানো হলো)। মান দুটি ঋণাত্মক, কারণ কোণটি তৃতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত।

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর sin⁡(π+θ)=−sin⁡θ\sin(\pi+\theta)=-\sin\theta, cos⁡(−θ)=cos⁡θ\cos(-\theta)=\cos\theta, tan⁡(π+θ)=tan⁡θ\tan(\pi+\theta)=\tan\theta। ∴\therefore রাশি =−sin⁡θcos⁡θtan⁡θ=−sin⁡θcos⁡θsin⁡θcos⁡θ=−cos⁡2θ=\frac{-\sin\theta\cos\theta}{\tan\theta}=\frac{-\sin\theta\cos\theta}{\frac{\sin\theta}{\cos\theta}}=-\cos^2\theta। θ=π3\theta=\frac{\pi}{3} হলে −cos⁡2π3=−(12)2=−14-\cos^2\frac{\pi}{3}=-\left(\frac{1}{2}\right)^2=-\frac{1}{4}। নির্ণেয় সরল রূপ −cos⁡2θ-\cos^2\theta এবং মান −14-\frac{1}{4}।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো