উচ্চতর গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর তৃতীয় চতুর্ভাগে কেবল $\tan\theta$ ও $\cot\theta$ ধনাত্মক; বাকি চারটি অনুপাত ঋণাত্মক।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর $P(-4,-3)$ এর জন্য $x=-4$, $y=-3$। অতএব $r=OP=\sqrt{(-4)^2+(-3)^2}=\sqrt{25}=5$। তাহলে $\sin\theta=\frac{y}{r}=-\frac{3}{5}$, $\cos\theta=\frac{x}{r}=-\frac{4}{5}$ এবং $\text{cosec}\,\theta=\frac{r}{y}=-\frac{5}{3}$। বিন্দু $P$ তৃতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত, যেখানে ভুজ $x$ ও কোটি $y$ উভয়ই ঋণাত্মক, কিন্তু $r$ সর্বদা ধনাত্মক। তাই $\frac{y}{r}$, $\frac{x}{r}$ ও $\frac{r}{y}$ এর মান ঋণাত্মক হয়।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর আগের অংশ থেকে $x=-4$, $y=-3$, $r=5$। $\sec\theta=\frac{r}{x}=-\frac{5}{4}$ এবং $\tan\theta=\frac{y}{x}=\frac{-3}{-4}=\frac{3}{4}$। $\therefore\ \sec\theta+\tan\theta=-\frac{5}{4}+\frac{3}{4}=-\frac{2}{4}=-\frac{1}{2}$। আবার $\sec\theta-\tan\theta=-\frac{5}{4}-\frac{3}{4}=-\frac{8}{4}=-2$। সুতরাং $(\sec\theta+\tan\theta)(\sec\theta-\tan\theta)=\left(-\frac{1}{2}\right)\times(-2)=1$ (দেখানো হলো)। এটি অভেদ $\sec^2\theta-\tan^2\theta=1$ এর সাথে সংগতিপূর্ণ।