উচ্চতর গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর $\log_a a = 1$ এবং $\log_a 1 = 0$, কারণ $a^1 = a$ এবং $a^0 = 1$।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর $\log_a b = x$ হলে $a^x = b$ হয়, যেখানে $a>0$ এবং $a\neq 1$। ধনাত্মক ভিত্তি $a$ এর যেকোনো বাস্তব সূচক $x$ এর জন্য $a^x$ সর্বদা ধনাত্মক হয়। অর্থাৎ $b = a^x > 0$। তাই কোনো ঋণাত্মক সংখ্যা বা শূন্যকে $a^x$ আকারে প্রকাশ করা যায় না। ফলে শূন্য বা ঋণাত্মক সংখ্যার লগারিদম নির্ণয় করা যায় না। সুতরাং $\log_5(-25)$ নির্ণয় করা সম্ভব নয় এবং নাজমুলের উক্তি যথার্থ।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর দেওয়া আছে, $\log_{\sqrt{5}} x = 6$
   বা, $x = (\sqrt{5})^6 = (5^{\frac{1}{2}})^6 = 5^3 = 125$
   $\therefore x = 125$
   এখন, $\log_x 5 = \log_{125} 5 = \log_{5^3} 5$
   ধরি, $\log_{125} 5 = m$। তাহলে $125^m = 5$ বা $5^{3m} = 5^1$
   বা, $3m = 1$ বা $m = \dfrac{1}{3}$
   $\therefore \log_x 5 = \dfrac{1}{3}$
   উত্তর: $x = 125$ এবং $\log_x 5 = \dfrac{1}{3}$