গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর যে সমীকরণজোটের অন্তত একটি সমাধান আছে, অর্থাৎ যার চলকের মান দ্বারা উভয় সমীকরণ যুগপৎ সিদ্ধ হয়, তাকে সমঞ্জস্য সমীকরণজোট বলে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর $k = 14$ হলে জোটটি হয় $3x - 2y = 7$ এবং $6x - 4y = 14$। এখানে প্রথম সমীকরণের উভয়পক্ষকে $2$ দ্বারা গুণ করলে দ্বিতীয় সমীকরণটি পাওয়া যায়। অর্থাৎ একটি সমীকরণকে অন্যটির মাধ্যমে প্রকাশ করা যায়। আবার সহগ ও ধ্রুবকের অনুপাত $\dfrac{3}{6} = \dfrac{-2}{-4} = \dfrac{7}{14} = \dfrac{1}{2}$, অর্থাৎ সবগুলো অনুপাত সমান। তাই জোটটি সমঞ্জস্য ও পরস্পর নির্ভরশীল।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর এখানে $a_1 = 3,\ b_1 = -2,\ c_1 = 7$ এবং $a_2 = 6,\ b_2 = -4,\ c_2 = k$।

   সহগের অনুপাত $\dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$ এবং $\dfrac{b_1}{b_2} = \dfrac{-2}{-4} = \dfrac{1}{2}$।

   অসংখ্য সমাধানের শর্ত: $\dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{b_1}{b_2} = \dfrac{c_1}{c_2}$
   অতএব $\dfrac{7}{k} = \dfrac{1}{2}$ বা, $k = 14$।

   $\therefore$ $k = 14$ হলে জোটটির অসংখ্য সমাধান থাকবে।

   $k = 10$ হলে $\dfrac{c_1}{c_2} = \dfrac{7}{10}$। এখানে $\dfrac{3}{6} = \dfrac{-2}{-4} = \dfrac{1}{2} \neq \dfrac{7}{10}$।

   যেহেতু সহগের অনুপাত দুইটি সমান কিন্তু ধ্রুবকের অনুপাতের সমান নয়, তাই জোটটি অসমঞ্জস্য। সুতরাং $k = 10$ হলে জোটটির কোনো সমাধান নেই।

   (যাচাই: প্রথম সমীকরণকে $2$ দিয়ে গুণ করলে $6x - 4y = 14$; কিন্তু দ্বিতীয় সমীকরণে $6x - 4y = 10$, যা একসাথে সত্য হতে পারে না।)