উচ্চতর গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর মনে করি $ABCD$ ট্রাপিজিয়ামে $AD\parallel BC$ এবং $BC>AD$। কর্ণ $AC$ ও $BD$ এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে $M$ ও $N$। প্রমাণ করতে হবে $MN\parallel BC$ এবং $MN=\frac12(BC-AD)$।
$\vec{MN}=\vec{MA}+\vec{AB}+\vec{BN}$ ......(১) এবং $\vec{MN}=\vec{MC}+\vec{CD}+\vec{DN}$ ......(২)
(১) ও (২) যোগ করে, $2\vec{MN}=(\vec{MA}+\vec{MC})+(\vec{BN}+\vec{DN})+\vec{AB}+\vec{CD}$।
$M$ মধ্যবিন্দু বলে $\vec{MA}+\vec{MC}=\underline{0}$; $N$ মধ্যবিন্দু বলে $\vec{BN}+\vec{DN}=\underline{0}$।
$\therefore 2\vec{MN}=\vec{AB}+\vec{CD}$। এখানে $\vec{AB}+\vec{CD}=(\vec{AD}+\vec{DC}+\vec{CB})+\vec{CD}=\vec{AD}+\vec{CB}$ (কারণ $\vec{DC}+\vec{CD}=\underline{0}$)।
অতএব $2\vec{MN}=\vec{AD}-\vec{BC}$। $\vec{BC}$ ও $\vec{AD}$ একমুখী ও সমান্তরাল, তাই $\vec{MN}$ ও এদের সমান্তরাল এবং $2MN=BC-AD$, অর্থাৎ $MN=\frac12(BC-AD)$। (প্রমাণিত)