উচ্চতর গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর $\csc\theta = \dfrac{1}{\sin\theta}$ অর্থাৎ $\sin\theta \cdot \csc\theta = 1$।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর প্রমিত অবস্থানে $\theta$ কোণের প্রান্তিক বাহুর ওপর $P(x, y)$ বিন্দু নিই এবং $OP = r$; তাহলে $r^2 = x^2 + y^2$ ও $x \neq 0$।
   $\tan\theta = \dfrac{y}{x}$ এবং $\sec\theta = \dfrac{r}{x}$।
   $1 + \tan^2\theta = 1 + \dfrac{y^2}{x^2} = \dfrac{x^2 + y^2}{x^2} = \dfrac{r^2}{x^2} = \left(\dfrac{r}{x}\right)^2 = \sec^2\theta$।
   $\therefore 1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta$। (প্রমাণিত)

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ থেকে $\cos^2\theta = 1 - \dfrac{9}{25} = \dfrac{16}{25}$, অর্থাৎ $\cos\theta = \pm\dfrac{4}{5}$।
   কোণটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে বলে $\cos\theta$ ঋণাত্মক, তাই $\cos\theta = -\dfrac{4}{5}$।
   $\therefore \sec\theta = \dfrac{1}{\cos\theta} = -\dfrac{5}{4}$
   $\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} = \dfrac{3/5}{-4/5} = -\dfrac{3}{4}$
   $\csc\theta = \dfrac{1}{\sin\theta} = \dfrac{5}{3}$
   $\cot\theta = \dfrac{\cos\theta}{\sin\theta} = -\dfrac{4}{3}$
   $\sec\theta + \tan\theta = -\dfrac{5}{4} - \dfrac{3}{4} = -2$
   $\csc\theta - \cot\theta = \dfrac{5}{3} + \dfrac{4}{3} = 3$
   $\therefore$ নির্ণেয় মান $= (-2) \times 3 = -6$।
   উত্তর: $-6$