দশম শ্রেণির শিক্ষার্থী তানভীর লক্ষ করল, (1+y)^n এর বিস্…

উচ্চতর গণিত • দ্বিপদী বিস্তৃতি (Binomial Expansion)

দশম শ্রেণির শিক্ষার্থী তানভীর লক্ষ করল, $(1+y)^n$ এর বিস্তৃতির সবগুলো দ্বিপদী সহগের যোগফল $256$ । সে আরও জানতে চায়, দ্বিপদী বিস্তৃতি ব্যবহার করে $(0.98)^6$ এর মান কত হয়।

ক)
$(1+y)^4$ এর বিস্তৃতির সহগগুলোর যোগফল কত?
(2)
খ)
তানভীরের পর্যবেক্ষণ থেকে $n$ এর মান এবং বিস্তৃতির পদসংখ্যা নির্ণয় করো। ব্যাখ্যা করো।
(4)
গ)
$(0.98)^6$ এর মান দ্বিপদী বিস্তৃতির প্রথম চারটি পদ ব্যবহার করে চার দশমিক স্থান পর্যন্ত নির্ণয় করো।
(4)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

ক)
AI-তৈরি নমুনা উত্তর $(1+y)^4 = 1 + 4y + 6y^2 + 4y^3 + y^4$ । সহগগুলোর যোগফল $= 1+4+6+4+1 = \mathbf{16}$ ।
খ)
AI-তৈরি নমুনা উত্তর $(1+y)^n$ এ $y=1$ বসালে বিস্তৃতির সব সহগের যোগফল পাওয়া যায়, যা $(1+1)^n = 2^n$ । শর্তমতে $2^n = 256 = 2^8$ , অতএব $n = 8$ । আবার $(1+y)^n$ এর বিস্তৃতিতে পদসংখ্যা $(n+1)$ টি। সুতরাং পদসংখ্যা $= 8+1 = \mathbf{9}$ টি।
গ)
AI-তৈরি নমুনা উত্তর $(0.98)^6 = (1-0.02)^6$ । $n=6$ এর প্যাসকেল সারি: $1, 6, 15, 20, 15, 6, 1$ । প্রথম চারটি পদ: $(1-y)^6 \approx 1 - 6y + 15y^2 - 20y^3$ । $y = 0.02$ বসিয়ে পাই, $1 - 6(0.02) + 15(0.02)^2 - 20(0.02)^3 = 1 - 0.12 + 15(0.0004) - 20(0.000008) = 1 - 0.12 + 0.006 - 0.00016 = 0.88584$ । সুতরাং চার দশমিক স্থান পর্যন্ত $(0.98)^6 \approx \mathbf{0.8858}$ ।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করো ওয়েবে খুলো

উচ্চতর গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা