রফিক সাহেবের একটি জমির নকশা কার্তেসীয় তলে আঁকা হয়েছে।…

উচ্চতর গণিত • স্থানাঙ্ক জ্যামিতি (Coordinate Geometry)

রফিক সাহেবের একটি জমির নকশা কার্তেসীয় তলে আঁকা হয়েছে। জমিটির তিনটি কোণার স্থানাঙ্ক যথাক্রমে $A(1, 2)$ , $B(7, 4)$ ও $C(3, 8)$ (একক: মিটার)। তিনি জমির পাশে আরেকটি অংশ কিনে চতুর্ভুজাকার জমি $ABCD$ তৈরি করতে চান, যার চতুর্থ কোণা $D(-1, k)$ । শীর্ষগুলো ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে আবর্তিত।

ক)
স্থানাঙ্কের সাহায্যে ত্রিভুজক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্রটি লেখো।
(2)
খ)
রফিক সাহেবের ত্রিভুজাকার জমি $ABC$ এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।
(4)
গ)
চতুর্ভুজাকার জমি $ABCD$ এর ক্ষেত্রফল জমি $ABC$ এর ক্ষেত্রফলের দ্বিগুণ হলে $k$ এর মান নির্ণয় করো।
(4)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

ক)
AI-তৈরি নমুনা উত্তর শীর্ষ তিনটি $(x_1, y_1)$ , $(x_2, y_2)$ , $(x_3, y_3)$ ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে নিলে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল $= \dfrac{1}{2}(x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_1 - x_2y_1 - x_3y_2 - x_1y_3)$ বর্গ একক।
খ)
AI-তৈরি নমুনা উত্তর শীর্ষগুলো ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে আছে। ক্ষেত্রফল $= \dfrac{1}{2}\begin{vmatrix} 1 & 7 & 3 & 1 \\ 2 & 4 & 8 & 2 \end{vmatrix}$ বর্গ একক $= \dfrac{1}{2}(1\times4 + 7\times8 + 3\times2 - 7\times2 - 3\times4 - 1\times8)$ $= \dfrac{1}{2}(4 + 56 + 6 - 14 - 12 - 8) = \dfrac{1}{2}(32) = 16$ বর্গ একক। অতএব জমিটির ক্ষেত্রফল $16$ বর্গমিটার।
গ)
AI-তৈরি নমুনা উত্তর চতুর্ভুজ $ABCD$ এর ক্ষেত্রফল $= \dfrac{1}{2}\begin{vmatrix} 1 & 7 & 3 & -1 & 1 \\ 2 & 4 & 8 & k & 2 \end{vmatrix}$ বর্গ একক $= \dfrac{1}{2}\{(1\times4 + 7\times8 + 3\times k + (-1)\times2) - (7\times2 + 3\times4 + (-1)\times8 + 1\times k)\}$ $= \dfrac{1}{2}\{(58 + 3k) - (18 + k)\} = \dfrac{1}{2}(40 + 2k) = (20 + k)$ বর্গ একক। শর্তমতে, $20 + k = 2\times16 = 32$ বা, $k = 12$ । নির্ণেয় মান $k = 12$ ।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করো ওয়েবে খুলো

উচ্চতর গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা