উচ্চতর গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর অসীম গুণোত্তর ধারার সাধারণ অনুপাত $r$ এর জন্য $|r| < 1$, অর্থাৎ $-1 < r < 1$ হলে ধারাটির অসীমতক সমষ্টি থাকে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর ধারাটির আংশিক সমষ্টি: $S_1 = 5$, $S_2 = 5-5 = 0$, $S_3 = 5$, $S_4 = 0$, $S_5 = 5$, $S_6 = 0$। দেখা যাচ্ছে $n$ বিজোড় হলে $S_n = 5$ এবং $n$ জোড় হলে $S_n = 0$। $n$ এর মান যত বড়ই করা হোক, $S_n$ কখনো কোনো একটি নির্দিষ্ট সংখ্যার কাছাকাছি স্থির হয় না, কেননা এটি সবসময় $5$ ও $0$ এর মধ্যে ওঠানামা করে। ধারাটির সাধারণ অনুপাত $r = -1$। $S_n$ এর কোনো প্রান্তীয় মান পাওয়া যায় না বলে ধারাটির কোনো সমষ্টি নেই।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর ধারাটির প্রথম পদ $a = 1$ এবং সাধারণ অনুপাত $r = \dfrac{k/4}{1} = \dfrac{k}{4}$। অসীমতক সমষ্টি থাকার শর্ত $|r| < 1$, অর্থাৎ $\left|\dfrac{k}{4}\right| < 1$ বা $-1 < \dfrac{k}{4} < 1$ বা $-4 < k < 4$। সুতরাং নির্ণেয় শর্ত: $-4 < k < 4$। $k = 3$ হলে $r = \dfrac{3}{4}$, যা শর্ত পূরণ করে। তখন সমষ্টি $S_\infty = \dfrac{a}{1-r} = \dfrac{1}{1-\frac{3}{4}} = \dfrac{1}{\frac{1}{4}} = \mathbf{4}$।