উচ্চতর গণিত • স্থানাঙ্ক জ্যামিতি (Coordinate Geometry)

উচ্চতর গণিত প্রশ্ন

একটি রম্বস আকৃতির পুকুরের চার কোণা নকশায় P(0,0)P(0,0), Q(3,4)Q(3,4), R(6,0)R(6,0) ও S(3,−4)S(3,-4) বিন্দুতে আছে। নকশায় প্রতি একক দৈর্ঘ্য বাস্তবে ১০ মিটার। সুমন বলল, "পুকুরটি বর্গাকার।"

  1. ক)

    রম্বস কাকে বলে?

    (2)
  2. খ)

    নকশায় △PQR\triangle PQR এর বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

    (4)
  3. গ)

    ত্রিভুজক্ষেত্রের সাহায্যে পুকুরটির নকশায় ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর এবং এর ভিত্তিতে সুমনের মন্তব্য যাচাই কর। বাস্তবে পুকুরের ক্ষেত্রফল কত?

    (4)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর যে চতুর্ভুজের চারটি বাহুর দৈর্ঘ্য পরস্পর সমান এবং কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে, কিন্তু কোণগুলো সমকোণ নাও হতে পারে, তাকে রম্বস বলে।

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর PQ=32+42=5PQ=\sqrt{3^2+4^2}=5 একক, QR=(6−3)2+(0−4)2=9+16=5QR=\sqrt{(6-3)^2+(0-4)^2}=\sqrt{9+16}=5 একক এবং PR=(6−0)2+02=6PR=\sqrt{(6-0)^2+0^2}=6 একক। অর্ধপরিসীমা s=5+5+62=8s=\frac{5+5+6}{2}=8 একক। ক্ষেত্রফল =8(8−5)(8−5)(8−6)=8×3×3×2=144=12=\sqrt{8(8-5)(8-5)(8-6)}=\sqrt{8\times3\times3\times2}=\sqrt{144}=12 বর্গ একক।

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর কর্ণ PRPR দ্বারা চতুর্ভুজটি △PQR\triangle PQR ও △PSR\triangle PSR এ বিভক্ত। △PSR\triangle PSR এ PS=32+(−4)2=5PS=\sqrt{3^2+(-4)^2}=5, SR=(6−3)2+(0+4)2=5SR=\sqrt{(6-3)^2+(0+4)^2}=5 ও PR=6PR=6 একক; সুতরাং এর ক্ষেত্রফলও 1212 বর্গ একক। চতুর্ভুজ PQRSPQRS এর ক্ষেত্রফল =12+12=24=12+12=24 বর্গ একক। বাহুগুলো PQ=QR=RS=SP=5PQ=QR=RS=SP=5 একক, তাই চতুর্ভুজটি রম্বস বা বর্গ। বর্গ হলে কর্ণদ্বয় সমান হতো। কিন্তু PR=6PR=6 এবং QS=(3−3)2+(4+4)2=8QS=\sqrt{(3-3)^2+(4+4)^2}=8 একক, অর্থাৎ কর্ণদ্বয় সমান নয়। সুতরাং পুকুরটি বর্গ নয়, এটি রম্বস; সুমনের মন্তব্য ভুল। নকশায় ক্ষেত্রফল 2424 বর্গ একক এবং ১ একক =10=10 মিটার হওয়ায় বাস্তবে ক্ষেত্রফল =24×100=2400=24\times100=2400 বর্গ মিটার।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো