উচ্চতর গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর দুটি বা তার বেশি ঘনবস্তুর সমন্বয়ে গঠিত ঘনবস্তুকে যৌগিক ঘনবস্তু বলে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর ক্যাপসুলের দুই প্রান্ত দুটি অর্ধগোলক এবং প্রতিটি অর্ধগোলকের ব্যাসার্ধ সিলিন্ডারের ব্যাসার্ধ $4$ মি.মি.-এর সমান। তাই সম্পূর্ণ দৈর্ঘ্য থেকে দুই প্রান্তের দুটি ব্যাসার্ধ বাদ দিলে সিলিন্ডার অংশের দৈর্ঘ্য পাওয়া যায়: $l = 20 - (4 + 4) = 12$ মি.মি.। দুই অর্ধগোলকের পৃষ্ঠতল মিলে একটি পূর্ণ গোলকের পৃষ্ঠতলের সমান, অর্থাৎ $4\pi r^2 = 4\pi \times 16 = 64\pi$ বর্গ মি.মি.। সিলিন্ডারের বক্রতল $= 2\pi r l = 2\pi \times 4 \times 12 = 96\pi$ বর্গ মি.মি.। সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল $= 64\pi + 96\pi = 160\pi = 502.66$ বর্গ মি.মি. (প্রায়)।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর একটি ক্যাপসুলের আয়তন = দুই অর্ধগোলকের আয়তন + সিলিন্ডার অংশের আয়তন। এখানে $r = 4$ মি.মি. এবং $l = 12$ মি.মি.। আয়তন $= \frac{4}{3}\pi r^3 + \pi r^2 l = \frac{4}{3}\pi \times 64 + \pi \times 16 \times 12 = \frac{256}{3}\pi + 192\pi = \frac{832}{3}\pi = 871.27$ ঘন মি.মি. (প্রায়)। $500$টি ক্যাপসুলের আয়তন $= 500 \times 871.27 = 435635$ ঘন মি.মি. (প্রায়)। যেহেতু $1$ লিটার $= 10^6$ ঘন মি.মি., তাই প্রয়োজনীয় তরল $= \frac{435635}{10^6} = 0.4356$ লিটার (প্রায়)। নির্ণেয় পরিমাণ প্রায় $0.4356$ লিটার।