উচ্চতর গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর $f(1)=3,\ f(2)=5,\ f(3)=7,\ f(4)=9$। সুতরাং রেঞ্জ $f = \{3, 5, 7, 9\}$।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর সার্বিক ফাংশনের জন্য কোডোমেনের প্রত্যেক সদস্য ডোমেনের কোনো না কোনো সদস্যের প্রতিবিম্ব হতে হয়, অর্থাৎ রেঞ্জ = কোডোমেন হতে হয়। এখানে কোডোমেন $B = \{3,5,7,9,11\}$ কিন্তু রেঞ্জ $f = \{3,5,7,9\}$। $11 \in B$ এর কোনো প্রাক-প্রতিবিম্ব $A$ তে নেই, কারণ $2x+1 = 11$ হলে $x = 5 \notin A$। তাই $f$ সার্বিক নয়।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর ধরি $x_1, x_2 \in A$ এবং $f(x_1) = f(x_2)$। তাহলে $2x_1 + 1 = 2x_2 + 1$ বা $x_1 = x_2$। সুতরাং $f$ এক-এক। কোডোমেন $B$ এর বদলে রেঞ্জ $B' = \{3,5,7,9\}$ নিলে $B'$ এর প্রত্যেক সদস্য $A$ এর একটি সদস্যের প্রতিবিম্ব হয়, ফলে $f : A \to B'$ সার্বিকও হয়। তখন $f$ এক-এক ও সার্বিক হওয়ায় বিপরীত ফাংশন বিদ্যমান এবং $f^{-1}(y) = \dfrac{y-1}{2}$। অতএব $f^{-1} = \{(3,1), (5,2), (7,3), (9,4)\}$, যেখানে $f^{-1} : B' \to A$।